Константин Бромберг родился 17 октября 1939 года в Харькове. В 1958-1959 годах работал корреспондентом агентства печати "Новости" и режиссером на Воркутинской студии телевидения. В 1965 году окончил в Москве сценарный факультет Всесоюзного государственного института кинематографии (ныне - Всероссийский государственный институт кинематографии им.С.А.Герасимова), после вуза работал режиссером, художественным руководителем студии детских и юношеских телефильмов творческого объединения "Экран".
Широкую известность Константину Бромбергу принесла работа в художественном кинематографе. Дебютной для него стала короткометражная картина "Длинный день Кольки Павлюкова" (1968), за которой последовали драма "Был настоящим трубачом" (1973) и киноповесть "У меня есть лев" (1975). Большую популярность получил детский фильм "Приключения Электроника" по мотивам фантастических повестей Евгения Велтистова, телепремьера которого состоялась в 1980 году. 31 декабря 1982 года на Центральном телевидении была впервые показана музыкально-комедийная киносказка Константина Бромберга "Чародеи", снятая по сценарию Аркадия и Бориса Стругацких.
В 1989 году Бромберг снял три сюжета для детского юмористического киножурнала "Ералаш". В 1990-х годах являлся руководителем студии детских и юношеских фильмов "Юнтелефильм". Лауреат Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры 1982 года (за постановку телефильма "Приключения Электроника").