Предварительный корреляционный анализ

На основании логических выводов о влиянии стоимости нефти на курс USD/RUB можно предположить корреляцию между стоимостью нефти и биржевым курсом USD/RUB
Для проверки предположения и определения степени связи будем использовать данные о стоимости с 10.11.2014 года по сегодняшний день. Год начала данных 2014 выбран в связи с тем, что именно в ноябре ЦБ РФ был осуществлен переход на режим свободно плавающего валютного курса. Что означает на практике более свободное ценообразование без вмешательства государства посредством интервенций.
Несмотря на то, что Россия имеет свой сорт нефти Urals, под ценами на нефть в данном анализе будем понимать цены на нефть марки Brent, т.к. именно этот сорт обладает наибольшей ликвидностью и является маркерным для нефти. Цена для контрактов Urals обычно рассчитывается исходя из цены Brent с некоторым дисконтом.

Зачастую, когда речь заходит о взаимосвязи двух величин, принято говорить о корреляции. 

График 1. Стоимость исследуемых инструментов за указанный период

Рассмотрим график отражающий цену на нефть BRENT: наличие определенной отрицательной корреляции заметно невооруженным глазом, что подтверждает представленную выше логику явления исходя из экономической сущности. Корреляция отрицательна, т.е. носит обратный характер в связи с тем, что мы рассматриваем курс USD/RUB. Для большей наглядности найдем обратную котировку:

График 2. Стоимость исследуемых инструментов за указанный период с использованием обратной котировки курса RUB/USD

Для начала общее предположение о корреляции:

График 3. График рассеяния, который будет являться корреляционным полем для исследуемых величин

Каждая точка на данном графике соответствует каждой комбинации котировки USD/RUB – Brent.

Наличие линейного тренда и повышение концентрации точек к его середине свидетельствует о явном наличии корреляционной зависимости между исследуемыми величинами.
Анализируя отклонения  от тренда можно заметить уменьшение концентрации по мере отдаления от середины линии тренда, что соотносится с логическим выводом о спекулятивной составляющей при падении нефти к минимальным уровням, а так же при росте стоимости свыше определенного уровня, когда меньшая доля генерируемых при продаже нефти и нефтепродуктов валюты конвертируется на покрытие издержек. У компаний появляется возможность для инвестирования и расширения бизнеса, что связанно с импортными закупками, а также увеличение общего уровня дохода (через оплату труда) влечет увеличение доли импортных товаров для личного потребления, что приводит к оттоку части валютных средств.

График 4. График распределения остатков

Уровень корреляции по всей выборке составляет -0.8893
Что свидетельствует о наличии сильной обратной корреляции (Показатель нормирован от -1 до 1, -1 полная обратная корреляция, 1 – полная прямая корреляция, 0 отсутствие корреляции вообще).

Наиболее распространенной ошибкой при поиске коэффициента корреляции, приводящей к получению недостоверных, зачастую завышенных данных является использование ненормированного временного ряда (исходных данных) в которых присутствует сильная трендовая составляющая, что делает такой ряд нестационарным, т.е. не пригодным для выяснения корреляции. Поэтому будем считать ее наличие лишь дополнительным подтверждением возможности существования взаимосвязей между инструментами и попробуем решить проблему нестационарности на следующем этапе.

В общем смысле стационарность — это свойство процесса не менять свои характеристики со временем. В контексте финансовой математики и для цен на торгуемые на бирже инструменты такими характеристиками процесса будут являться следующие статистические характеристики временного ряда: 

- математическое ожидание (среднее);
- дисперсия (ср. кв. отклонение);
- ковариация.

Для проверки необходимо протестировать гипотезу о том, что процесс не стационарный против альтернативной гипотезы утверждающей обратное.
Для проверки воспользуемся Расширенным тестом Дики Фулера (ADF) с помощью функции adftest – MATLAB (значимость 0,05).
По результатам тестов обоих временных рядов мы убеждаемся, что оба ряда являются интегрированными рядами первого порядка I (1) т.е. нестационарными, со стационарными приращениям. Это значит следующее: для получения стационарных (пригодных для анализа) рядов мы должны взять первую разность этих рядов. То есть анализировать не цены, а разницы, на которые изменилась цена между двумя наблюдениями.

График 5. График демонстрирует динамику Brent и RUB/USD, а так же приращения этих рядов

Нестационарность основных рядов и стационарность первой разности очевидна и на графике. Из чего можно сделать вывод о несостоятельности корреляционного анализа и необходимости иных методов статистического анализа. 

Одним из таких методов может выступать коинграционный анализ. 

Коинтеграция — свойство нескольких нестационарных (интегрированных) временных рядов, заключающееся в существовании некоторой их стационарной линейной комбинации. Концепция коинтеграции впервые была предложена Грэнджером в 1981 году. В дальнейшем данное направление развивали Энгл, Йохансен, Филипс и другие.
Коинтегрированность является важным свойством многих экономических переменных, которое означает, что, несмотря на случайный (слабо предсказуемый) характер изменения отдельных экономических переменных, существует долгосрочная зависимость между ними, которая приводит к некоторому совместному, взаимосвязанному изменению.
Иными словами, речь идет о плавающим спреде между акциями, зависимость которых выражена через регрессионное уравнение, где этот спред будет являться ошибкой регрессии. Если спред является стационарным рядом, т.е. имеет ограниченную дисперсию и нулевое математическое ожидание (часто пересекает нулевую ось, при этом далеко от нее не отдаляясь с заданной вероятностью), то мы говорим о коинтегрированности биржевых инструментов с  коэффициентом  β.

Для того что бы определить наличие и найти коэффициент коинтеграции двух рядов требуется протестировать нулевую гипотезу о том, что ряды не являются коинтегрированными. Опровержение первой теории и принятие второй и является свидетельством факта наличия коинтеграции между рядами.

Используем оригинальный тест на коинтеграцию - тест Энгла-Грэнджера состоящий из следующих этапов:

• предварительная проверка рядов на интегрированность;
• получение состоятельной оценки β – используем метод наименьших квадратов (МНК);
• проверка на стационарность остатков (спреда).

Тест будем проводить в MATLAB - функция egcitest

Данная функция на вход принимает массив из временных рядов, в данном случае размера n×2, где n — количество торговых дней. На выходе функция возвращает логическое значение, равное 1(true), если нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной, и 0 (false) – иначе.

Функция допускает выбор формулы регрессии, представляющей коинтеграцию, будем использовать функцию со свободным членом – константой. Экономический смысл данной константы интерпретируется как воздействие иных, не связанных, с нефтью факторов, влияющих на рубль 

Результаты теста:

Формула по всей выборке: RUB/USD = 0,000171 BRENT + 0,007566 + E

График 6. Остатки регрессии на основании всей выборки 

Тестовая статистика в данной регрессии свидетельствует о наличии коинтеграции.

Статистика	Регрессия всей выборки 09.11.2014-14.11.2017
Коэффициенты	β = 0,000171 α = 0,007566
Тестовая статистика	tcalc = -3.9344  tcrit = -3.3449 p = 0.0095
Коэффициент детерминации	0,7936
Скорректированный коэффициент детерминации	0,7934

Судя по графику остатков, имеются структурные сдвиги, наименьшая дисперсия остатков наблюдается в диапазоне 150ым-600ым элементом выборки, т.е. с июня 2015 по март 2017, что позволяет сделать предположение о наличие как минимум двух структурных сдвигов. С экономической точки зрения эти сдвиги это изменения структурных режимов в экономике.

Выделим периоды:

«FULL» - 09.11.2014-14.11.2017 – вся выборка 09.11.2014-14.11.2017
«PAST» - 09.11.2014-04.06.2015 – вся выборка 09.11.2014-14.11.2017 
«MID» - 04.06.2015- 23.02.2017 – вся выборка 09.11.2014-14.11.2017
«END» - 23.02.2017 - 14.11.2017 – вся выборка 09.11.2014-14.11.2017

Период «PAST» на данный момент будет наименее значим в связи тем, что пришелся на иной этап движения цен на нефть, а именно обвал, который сопровождался «нервозными» движениями рубля с сильной спекулятивной составляющей, поэтому данные о статистических зависимостях будут менее репрезентативны.  Проведем описанные выше тесты для выделенных периодов «MID», «END»

Статистика	Регрессия среднего диапазона «MID» 04.06.2015- 23.02.2017	Регрессия конечного диапазона«END» 23.02.2017-настоящие дни
Коэффициенты	β = 0,000159 α = 0,00786	-
Тестовая статистика	tcalc= -3.9363   tcrit= -3.3504 p= 0.0097	tcalc=  -1.7700  tcrit= -3.3692 p= 0.6304
Коэффициент детерминации	0,9132	-
Скорректированный коэффициент детерминации	0,9130	-

График 7. Остатки регрессии на основании различных выборок

По итогам тестов периодов «MID», «END»:

Период «MID»:  RUB/USD = 0,000159 BRENT + 0,00786 + E

Характеризуется наиболее ярко выраженной зависимостью RUB от BRENT (Коэффициент детерминации составил - 0,9132), что объясняется развитием кризисных явлений в экономике РФ, сокращением торговли и инвестициям по статьям, не включающим нефть и нефтепродукты, следствием чего явилась крайняя «нефтефикация» экономики. Так же, вследствие общего падения доходов от нефтедобычи, увеличилась доля валюты вырученной от продажи нефти и нефтепродуктов конвертируемая в RUB для покрытия издержек. Совокупность этих факторов в конечном итоге привела к укреплению зависимости курса RUB от USD
Период «END»:  коинтеграция тестом не обнаружена. 

 tcrit = -3.3692        tcalc = -1.7700

Полученные тестом данные хорошо соотносятся как с графиком остатков предполагаемой регрессии, так и с графиком непосредственно цен на нефть и курса рубля (График 2). 
Что может объясняться следующими экономическими факторами: 

• уменьшение доли конвертируемой в RUB валюты, вырученной за счет экспорта нефти;
• ребалансировка экономики РФ связанная с удорожанием нефти выше критических отметок; 
• переориентирование экономики на импортазамещение; 
• возможные сдвиги  в структуре денежной массы;
• иные внутренние процессы.

В будущем возможно нахождение новых уровней баланса и установление новых коинтеграционных зависимостей. Формула периода «END» неактуальна, формула, рассчитанная по полному диапазону, еще продолжает действовать и не была отвергнута, однако можно предположить, что ее точность с течением времени снижается. Для установления возможных более точных зависимостей стоит проводить дополнительный анализ, включающий Векторную модель коррекции ошибок и иные методы анализа.
На данный момент (14.11.2017) не опровергнута формула:

RUB/USD = 0,000171 BRENT + 0,007566 + E

Форвардный тест за период 14.11.2017 - 10.01.2018

Для оценки достоверности и актуальности формулы, полученной по итогу анализа за период с 10.11.2014 года по 14.11.2014 вычислим расчётные значения стоимости USD/RUB по имеющимся на данный момент фактическим данным о стоимости нефти марки Brent за форвардный период и сравним с фактическими данными.

График 8. График цен на нефть Brent и RUB/USD за период 14.11.2014 – 10.01.2018 (период форвардного теста включительно)

Оценим формулу RUB/USD = 0,000171 BRENT + 0,007566 + E:

Рассчитаем курс RUB/USD подставив в формулу фактические цены на нефть и отобразим на графике результаты расчетов, фактический курс на нефть и фактический курс RUB/USD (График 9). Анализируя график можно отметить, что расхождение возникающие в начале представленного графика носит временный характер, после которого цены на нефть и курс рубля продолжают двигаться сопряженно, но расширив спред между собой. Данное расширение хорошо видно по сдвигу расчетного курса относительно фактического, однако дальнейшее движение расчетного курса и фактического так же сопряжено (графики условно параллельны), что свидетельствует в пользу актуальности формулы. 

График 9. График цен на нефть Brent и RUB/USD фактического и расчетного

Для дальнейшей проверки нам необходимо рассчитать остатки, как разницу между фактическим и расчетным курсами и выяснить являются ли они случайными. Поскольку в дальнейшем мы будем работать только со значениями курса рубля – обратным и расчетным и не будем анализировать нефть, мы можем использовать вместо RUB/USD более привычную, стандартную котировку USD/RUB. Проведем конверсию по следующей формуле: 

Следующим шагом найдем остатки. (График 10) Для того что бы мы могли говорить о том, что остатки случайны и не несут в себе некую неучтенную зависимость нам необходимо доказать их стационарность. Для проверки стационарности воспользуемся тестом Дики Фулера (ADF) с помощью функции adftest – MATLAB, который мы использовали ранее.
По результатам теста остатки являются стационарными со следующей статистикой:

Тестовая статистика

tcalc = -3.1538   tcrit = -1.9476  p = 0.0031

График 10. График остатков между фактическим и расчетным курсами USD/RUB без корректировкиСтационарность остатков подтверждает актуальность формулы.

Поскольку остатки стационарны, те имеют ограниченную дисперсию относительно некого уровня, мы можем найти этот уровень как среднее остатков равное -4,54.  По сути, это среднее значение и является расхождением, возникшим вследствие движения, которое мы можем наблюдать в начале на графика 9. Так же мы можем скорректировать нашу формулу, отняв от константы данную величину, для большей достоверности. Однако следует учитывать, что формула оперирует обратным курсом(RUB/USD), поэтому для ее корректировки нам следует использовать среднее для остатков, выраженных в обратной котировке, равное 0,0014. Скорректированная формула:

 RUB/USD = 0,000171 BRENT + 0,006166 + E:

На основании форвардного теста мы еще раз убедились в наличии зависимости между курсом RUB и ценой на нефть, которая хоть и может иногда нарушаться, но это временное явление под воздействием различных экономических факторов, которое, в конечном итоге, скорее приводит к расширению спреда между экономическими рядами при сохранении долгосрочной связи.

В следующей части будет рассмотрено влияние российской экономики на белорусскую через взаимодействие курсов BYN и RYB. Предпосылкой наличия взаимосвязи является то, что Россия – крупнейший торговый партнер Беларуси. Мы попробуем количественно оценить данную взаимосвязь.