Загадка на сообразительность: решите задачу про количество страниц в книге с собеседования
Предлагаем вам очередную загадку на выходные, которая поможет размять мозги. Ее часто используют на собеседованиях, чтобы проверить эрудицию кандидата. В принципе эту задачу можно решить простым сложением, но есть и более быстрый и изящный способ.
В книге есть некоторое количество страниц, которые нумеруются как обычно, то есть первая, вторая, третья и так далее. Нулевой страницы нет.
Если сложить количество цифр, содержащихся в каждом номере страницы, то получится 1095. Сколько страниц в книге?
Ответ
401 страница
Решение
Из наших задач эта, пожалуй, самая простая — если иметь очень много времени на решение. Достаточно прибавить к единице (1) еще одну единицу (2 — это тоже однозначное число), еще одну (3) и так до 9 включительно. Потом прибавить двойку (10 — это уже двузначное число), еще двойку (11), еще двойку (12) и так до 99. Затем тройку (100 — трехзначное число), еще тройку (101) и далее по списку, пока сумма цифр не составит 1095.
С четырехзначными числами дело иметь, скорее всего, не придется, сумма цифр всего 1095, да и книг объемом больше 1000 страниц не так много. Достигнув нужной суммы, нам просто нужно будет записать в графу «Ответ» номер последней прибавленной страницы.
Однако мы исходим из того, что времени у нас не бесконечное количество. Логичнее будет использовать простенький алгоритм для расчета.
Итак, предположим, что в книге трехзначное число страниц (если это не так, мы быстро поймем свою ошибку). Мы точно знаем, что для того, чтобы найти сумму, предстоит сложить количество цифр во всех однозначных числах, всех двузначных и некотором количестве трехзначных.
Начнем с однозначных. Всего их 9, в каждом одна цифра. Проще умножить, а не складывать.
9х1=9
Продолжим двузначными. В промежутке от 10 до 99 у нас есть 90 чисел, в каждом по две цифры. Опять воспользуемся умножением:
90×2=180
Сложим полученные значения, получим 189. До 1095 еще очень далеко, так что количество страниц в книге точно больше чем 99.
Далее начинаются трехзначные. Для начала проверим все же, хватит ли нам количества трехзначных, чтобы посчитать страницы в книге, или придется переходить на четырехзначные. Всего в промежутке от 100 до 999 есть 900 чисел (кстати, это легко запомнить, количество однозначных, двухзначных, трехзначных и так далее чисел всегда равно 9, 90, 900, 9000 — просто приписывайте нолики к девятке).
Итак, в каждом из 900 трехзначных чисел три цифры. Перемножим, чтобы узнать их общее количество:
900×3=2700
Ну нет, это слишком много, четырехзначные числа нам точно не понадобятся. Значит, количество страниц в книге составляет от 100 до 999. Остается их найти.
Мы уже знаем сумму цифр количества страниц книги — 1095. И сумму цифр страниц книги от 1 до 99 — это 189. Теперь найдем сумму цифр страниц с трехзначными номерами. Для этого из общей суммы нужно вычесть сумму «однозначных» и «двузначных» страниц.
1095−189=906
Итак, теперь мы знаем сумму количества цифр «трехзначных» страниц книги. Проще простого определить их число, зная, что в трехзначном числе цифр ровно три.
906/3=302
Теперь у нас есть все нужные сведения — количество страниц книги от 1 до 99 и количество страниц книги, начиная со 100. Сложив их, мы получим, сколько всего в книге страниц.
99+302=401
Это и есть ответ!