Загадка на выходные: найдите ответ всего за 90 секунд
Преш Талвалкар, автор книги «Теория радости игры: введение в стратегическое мышление», выкладывающий видео о математике и загадках на YouTube, также ведет блог, где делится своими любимыми задачами и головоломками. Предлагаем вам решить одну из них.
Эта задачка проще и интереснее, чем кажется. Ее автор предлагает всем найти решение за 90 секунд. И это возможно!
Имеется простое уравнение четвертой степени с одной переменной. Нам нужно быстро решить второе уравнение, на сей раз шестой степени, с той же переменной.
Если вы не решите его за 90 секунд, ничего страшного. Автор честно признался, что сначала не получилось и у него. Попробуете?
Ответ
0
Решение
Интересно, что для того, чтобы решить эту алгебраическую задачу, можно использовать геометрию. А именно расчет объема куба со стороной x, из которого удален меньший по размерам куб со стороной y. Один из способов выразить его — попросту вычесть объем меньшего куба из объема большего:
x3 – y3
Но также найти этот объем можно и найдя сумму трех прямоугольных призм, как на приведенной диаграмме:
Таким образом, мы получаем выражение
x3 – y3 = (x – y)x2 + (x – y)xy + (x – y)y2
Его можно сократить до
x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2), тем самым получив формулу разности кубов.
Допустим, что y= -z, тогда
x3 + z3 = (x + z)(x2 – xz + z2)
и именно эта формула и нужна нам для решения изначальной задачи.
Осталось только применить ее, и мы получим решение:
Пусть x = 2b and z = 1/b
Таким образом получаем сумму кубов:
8b3 + 1/b3
= x3 + z3
= (x + z)(x2 – xz + z2)
= (2b + 1/b)(4b2 – 2 + 1/b2)
Вспомним, что
4b2 + 1/b2 = 2, а значит:
= (2b + 1/b)(2 – 2)
= (2b + 1/b)(0)
= 0
А значит 8b3 + 1/b3= 0.