Смешная задача для шестиклассников, которая заставит задуматься взрослых
Мы нашли смешную задачу для учеников шестого класса, обучающихся в математическом кружке при МГУ. Несмотря на кажущуюся простоту, она заставит поломать голову даже взрослых. Сможете решить за выходные?
При дворе принца Лимона служили герцоги, графы и бароны. В начале правления принца придворных было 2006, но каждый день один из них убивал другого на дуэли, причем графы убивали только герцогов, герцоги — только баронов, а бароны — только графов. При этом никто не выиграл дуэль дважды. В конце концов остался в живых лишь граф Апельсин. Какой титул был у первого погибшего придворного?
Ответ
Герцог.
Решение
Присвоим всем придворным номера. Номер 1 получит тот, кто погиб раньше всех, номер 2 — тот, кто погиб вторым, номер 3 — тот, кто погиб третьим, …, номер 2005 получит тот, кто погиб 2005—ым, то есть последним, а номер 2006 — граф Апельсин. 2005—ый был убит графом Апельсином, так как кроме него и графа Апельсина к тому времени никого больше не осталось. Значит, 2005—ый был герцогом, так как графы убивали только герцогов. После гибели 2004—ого остались только 2005—ый и граф Апельсин. Значит, 2004—ого убил кто—то из них. Но граф Апельсин это сделать не мог, так как он убил 2005—ого, а двоих не мог убить один и тот же человек. Значит, 2004—ого убил 2005—ый. Так как 2005—ый был герцогом, то 2004—ый был бароном. Аналогично можно установить, что 2003—его убил 2004—ый, значит, 2003—ий был графом.
Так как 2006 = 668 · 3 + 2, то, с помощью аналогичных рассуждений двигаясь по цепочке «граф — герцог — барон», мы пройдем её 668 раз целиком (это означает, что 3—ий был бароном), и ещё останется два шага. Тогда получается, что 2—ой был графом, а 1—ый, который был убит раньше всех, был герцогом.