Когда ждать пик коронавируса? А карантин вводить обязательно? Отвечаем на основании матмоделей
Пока писалась эта статья, количество зараженных коронавирусом достигло миллиона. Утром 2 апреля было 937 170 заразившихся вирусом SARS-CoV-2. 858 785 — днем ранее. 785 709 зараженных — в последний мартовский день, 722 тысячи — в предпоследний. При этом в Сети можно найти прогнозы об удвоении числа инфицированных каждые шесть дней (и вдвое большие темпы роста в США). Эксперты часто говорят об экспоненциальном росте количества зараженных и рисуют устрашающие графики. 42.TUT.BY попробовал разобраться, как это работает и насколько точны прогнозы, сделанные исходя из математических формул.
Что такое экспоненциальный рост?
В математике экспонента «в чистом виде» — это функция y=ex, которая растет с коэффициентом e=2,72 (это называется число Эйлера). Рост такой функции происходит очень быстро, причем тем быстрее, чем больше x. К примеру, для х=0 экспонента равна 1, при х=1 функция растет до 2,72, а уже на х=5 она принимает значение 148. На графиках это выглядит как кривая, стремительно поднимающаяся вверх.
Но когда мы слышим об экспоненциальном росте заболевших, это не значит, что количество зараженных растет именно со скоростью, описанной экспонентой y=(2,72)x. В таком случае уже на 23-й день все население Земли оказалось бы заражено. В реальности «экспоненциальный рост» означает, что чем больше появляется зараженных, тем быстрее распространяется вирус.
Очень хорошую визуализацию процесса сделал известный популяризатор математики Грант Сандерсон. Вы можете увидеть ее ниже.
Согласно его подсчетам, хотя каждая страна борется с заразой по-своему, рост долгое время был более-менее стабилен для всего мира и, согласно имеющимся данным, составлял примерно 1,15. То есть каждый следующий день количество больных было на 15% больше, чем днем ранее.
Со временем экспоненциальный рост прекращается, и график функции изгибается в другую сторону. Получается нечто вроде буквы S (из-за чего его называют иногда «s-кривая»). Почему — расскажем ниже.
Кто и когда придумал описывать математически эпидемии? Как это работает?
Идея разработать математическую модель для расчета скорости распространения эпидемий появилась почти сто лет назад. Тогда британские ученые Андерсон Кермак и Уильям МакКендрик создали систему SIR — теоретически она должна была описывать распространение любой заразной болезни, будь то грипп или чума.
Согласно модели Кермака-Маккендрика, любое общество, где начинается эпидемия, делится на категории восприимчивых к заболеванию (S — suspectible), инфицированных (I — infected) и вылеченных или умерших (R — recovered/removed). Каждый инфицированный, контактируя с восприимчивыми, заражает их болезнью — то есть переводит в число инфицированных. Люди заражаются, болеют и затем либо выздоравливают, либо умирают.
Важнейшим параметром является скорость заражения: сколько человек сможет заразить инфицированный до того, как выздоровеет. Если он заражает больше одного человека — эпидемия распространяется. Если меньше — она затухает. При этом скорость заражения со временем неизбежно снижается, потому что чем больше процент зараженных, тем меньше у них шанс встретить неинфицированного человека, которого можно было бы заразить.
В результате все это описывается системой дифференциальных уравнений, полностью с которой можно ознакомиться здесь. Или, если хочется разобраться подробно, посмотреть вот это видео (но оно на английском):
Конечно, в данном случае модель предельно упрощена. В ней подразумевается, что в процессе болезни у человека, если он не умирает, обязательно появляется иммунитет и второй раз заболеть он не может. Вирус в модели не имеет инкубационного периода, и «восприимчивые» немедленно становятся «инфицированными». Поэтому со временем функция обросла вариациями, такими как SEIR, SIRS, SIS или MSEIR.
Например, в самой реалистичной модели SEIR к категориям S, I и R добавляется категория E (Exposed — «контактировавшие»), то есть люди, уже заразившиеся вирусом от инфицированных, но сами еще не заболевшие — как это сплошь и рядом происходит в реальности.
Вариант MSEIR — для тех заболеваний, иммунитет к которым может выработаться еще до рождения (категория М — Maternally derived immunity, то есть «имеющие иммунитет от рождения»). SIRS — это модель, при которой гарантированный иммунитет от заболевания может выработаться после того, как им переболеешь (а может и не выработаться).
И, наконец, самая печальная модель SIS — то есть вариант, при котором иммунитет не вырабатывается вовсе (отсутствует вариант Recovered), и все выжившие после болезни снова попадают в категорию восприимчивых к вирусу.
В целом модель SIR, несмотря на некоторые упрощения, оказалась вполне реалистичной. Игра «Plague Inc.», в которой нужно распространить смертельную инфекцию по планете, была разработана в соответствии как раз с этой моделью.
Однако чтобы лучше понять, как это работает, можно воспользоваться этим симулятором эпидемий. Здесь можно задать довольно много параметров, включая количество населения, занимаемую им площадь, продолжительность болезни, наличие или отсутствие карантина и так далее.
Каковы прогнозы?
Как мы уже говорили, рано или поздно экспоненциальный рост заканчивается. На графике распространения эпидемии появляется так называемая точка перегиба. Нет, это не момент, когда люди перестают заражаться — это просто день, когда количество новых зараженных становится меньше, чем оно было вчера. Тому может быть много причин — естественных и «рукотворных».
Со временем зараженных становится все больше, а восприимчивых — все меньше, так как выздоровевшие и умершие больше не заражаются. Контакты между людьми неизбежно снизятся: даже без всяких карантинов люди в моменты эпидемии стараются поменьше общаться с внешним миром. А принудительные карантины могут свести контакты к минимуму и еще больше притушить скорость распространения.
Все это есть, но переломить ситуацию пока мало где удалось. Согласно данным от университета Джона Хопкинса, свой пик еще 13 февраля прошел Китай — с этого дня и по сегодня в стране с каждым днем заражается все меньше.
7 марта прошла пик Южная Корея: система здравоохранения страны справилась, судя по всему, отлично. Северная Корея, которая ввела карантин еще в январе, заявляет, что заболевших в стране нет вообще. Верят в это не все.
Возможно, вчера добралась до пика Франция — с 1 на 2 апреля заразилось вдвое меньше, чем днем ранее.
Большинство других «лидеров» по количеству зараженных пока еще до пика не дошли. Многие вирусологи прогнозируют пик заболеваемости на середину апреля.
Но излишний оптимизм тоже испытывать рано. Так, прогноз того же Гранта Сандерсона, который он называл возможно завышенным, предполагал миллион зараженных к 5 апреля. Сегодня 3-е число, а миллион уже есть — так что есть основания полагать, что мировой пик, несмотря на успехи отдельных стран, еще не пройден.
Карантины — могут ли они быть полезными? Смотрим на примере российских прогнозов
К сожалению, каких-то реалистичных матмоделей по Беларуси нам пока не встретилось. Тем более что длительное время Минздрав давал информацию не ежедневно. Достаточно посмотреть на данные того же университета Хопкинса: согласно им, с 1 на 2 апреля в стране появился 141 (!) новый зараженный, в то время как за 30 дней до того было всего 163.
Сегодня появились новые цифры: заразившихся уже 351 (после дневного роста на 141 зараженного на следующий день прибавилось всего 47, вряд ли речь о том, что пройден пик).
Возможно, теперь данные будут поступать более регулярно, и тогда математики смогут использовать их и для нашей страны.
Пока же, чтобы хотя бы примерно представлять, что и как будет, и как мы можем на это повлиять, есть смысл обратиться к опыту России. Пожалуй, из наших соседей она наиболее похожа на Беларусь с точки зрения состояния и специфики системы здравоохранения, а также по уровню благосостояния и инфраструктуры.
Для охватившей планету эпидемии лучше всего подходит модель SEIR — известно, что повторно коронавирусом не заражаются (но от него нет и врожденного иммунитета). Поэтому уже в 2020 году немецкий ученый Ричард Нейер из Базельского университета со своей командой сделал модель SEIR, максимально приближенную к реалиям эпидемии COVID-19. Основные параметры, которые она учитывает, приводит «Медуза»:
- В зависимости от возраста заболевших рассчитывается процент тяжелых больных и уровень летальности: пожилые переносят болезнь намного хуже, чем молодые;
- Средняя длительность инкубационного периода для COVID-19 примерно равна пяти дням (1−14 дней согласно ВОЗ). Время, в течение которого человек не имеет симптомов, но уже заразен, установлено несколько хуже, но ориентировочно составляет около трех дней;
- Задержки в регистрации больных по причине нехватки тестов, распространенности бессимптомного протекания болезни и других причинам;
- Влияние наступающего лета и связанное с этим возможное сезонное снижение заразности вируса;
- Меры, принимаемые странами для сдерживания и подавления эпидемии, и их влияние на скорость распространения вируса;
- Мощность медсистемы города — наличие коек и аппаратов искусственной вентиляции легких.
Так, несмотря на тяжесть заболевания, от 50% среди пожилых до 95% среди детей и подростков переносят коронавирус на ногах, так что их могут просто не заметить — и, соответственно, не протестировать. Полнота тестирования в таких условиях имеет большое преимущество — так борются с COVID-19 в Южной Корее и странах Скандинавии.
Что касается наступающего теплого сезона, то его точное влияние предсказать невозможно, но предполагается, что заразность летом снижается примерно на 20% по сравнению с зимой. Нынешняя «весенняя» заразность, считают вирусологи, в краткосрочной перспективе может не учитываться.
Скорость распространения коронавируса по Москве за последние 20 дней приводила к удваиванию количества заболевших примерно каждые 2,8−2,9 дня — это значит, что в среднем один инфицированный заражал примерно 3,8 человека (в Ухане во время вспышки эпидемии — от 2,2 до 6,5).
Что же касается методов сдерживания, то в модели учтены пять различных сценариев протекания эпидемии в зависимости от карантинных мер — от полного отсутствия карантина до раннего локдауна. Если не вводить вообще — предполагается, что умрет 110 000 человек. Количество смертей, как мы видим, даже при позднем введении карантина отличается на треть, при раннем локдауне — в 440 раз (правда, локдаун грозит не только экономическими последствиями, но и риском второй волны эпидемии).
Подробности на примере данных по Москве смотрите на скриншоте ниже.
В Беларуси карантин пока вводить не собираются. Однако Минздрав Беларуси рекомендует самоизоляцию пожилым, введен обязательный карантин для приехавших из-за границы. В университетах отменяют лекционные занятия, и, похоже, в школе продлят каникулы. Многие компании перевели сотрудников на дистанционную работу, и на улицах Минска стало заметно меньше людей.